Algebra

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 25/02/2013
Gabarito
1 − 1 1
1ª Questão. (2.0) Considere a matriz A = 1 1 1 .


0 0 1


a) Verifique que A é inversível.
b) Determine a matriz inversa de A.
 x
4
 y e B =  0 
c) Utilize o resultado obtido em b) para resolver o sistema AX=B, onde X =
 
 
z
− 3
 
 
Solução.
a) A é inversível, pois det A = 2 ≠ 0.
b) Escrevendo o esquema [A| I] e aplicando as operações elementares, temos:
1 − 1 1 1 0 0
1 − 1 1 1 0 0




1 1 1 0 1 0 L2 ← L2 − L1 → 0 2 0 − 1 1 0 L2 ← 1 / 2.L2 →
0 0 1 0 0 1 
0 0 1 0 0 1 




1 − 1 1 1
1 0 1 1 / 2 1 / 2 0 L1 ← L1 − L3
0 0 L1 ← L1 + L2




→ 0 1 0 − 1 / 2 1 / 2 0
→
0 1 0 − 1 / 2 1 / 2 0 
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1
0 1




1 0 0 1 / 2 1 / 2 − 1
 1 / 2 1 / 2 − 1




−1
0 1 0 − 1 / 2 1 / 2 0  .Assim, A =  − 1 / 2 1 / 2 0  .
0 0 1 0
 0
0
1
0
1




c) Sendo A inversível, podemos fazer:
 1 / 2 1 / 2 − 1  4   5 
−1( AX ) = A−1B ⇒ X = A−1B, Logo, X =  − 1 / 2 1 / 2 0   0  =  − 2.
AX = B ⇒ A

   
 0
0
1   − 3  − 3

   

2ª Questão. (2.0)
2 x − y + z = 0

a) Classifique e resolva, por escalonamento, o sistema linear  x + 2 y − z = 0 .
 3x + y = 0

b) Sem escalonar novamente responda: substituindo-se a equação 3 x + y = 0 pela equação

3x − y = 0 o conjunto solução será alterado? Por quê?
Solução.

a)
2 − 1 1  L1 ↔ L2
1 2 − 1
1 2 − 1
1 2 − 1
 2 − 1 1  L ← L − 2 L → 0 − 5 3 
→
→
2
1


 2


3 1 0 
3 1
0 − 5 3  L3 ← L3 − L2
0  L3 ← L3 − 3L1






1 2 − 1
0 − 5 3 . Assim, obtemos o sistema equivalente  x + 2 y − z = 0 .



 − 5 y + 3z = 0
0 0
0


Logo o sistema