Algebra

ATIVIDADE INDIVIDUAL

Questão 01: Consideremos as seguintes afirmações:

(0) O elemento neutro de um grupo é único.

(1) O elemento inverso de um grupo é único.

(2) O Conjunto dos Números Racionais Q é um grupo aditivo abeliano.

(3) Se H e K são dois subgrupos de um grupo G, então a interseção H K não é um subgrupo de G.

(4) Se G é um grupo cíclico então G não é um grupo abeliano.

Desta forma, podemos afirmar que a soma das alternativas verdadeiras é dada por?

a) ( ) zero
b) ( ) 10
c) ( ) 8
d) ( ) 9
e) ( X ) N.d.a.

Questão 02: Construir as tábuas de da adição e multiplicação para o anel Z = { , , , , , }. Lembremos que:

= + e = . .
Para quaisquer elementos , .

Adição:

+

Multiplicação:

.

Questão 03: Determine todos os elementos simetrizáveis de Z . . De fato como 31 é primo, temos que o mdc(a,31) =1,ᵾ ≤ a ≤ 31.
Questão 04: Surge a seguinte indagação em um plantão do professor Alessandro: Professor considere um grupo G. Se G é cíclico então G é abeliano? Justificar a sua resposta.
Um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo em que para quaisquer e em e um grupo diz-se cíclico se for gerado por um único elemento.
Resposta:
Sim, porque se x,y estiver em G, então xy = yx é abeliano

Questão 05: Consideremos G um grupo e G1 e G2 dois subgrupos de G. A interseção entre G1 e G2 é um subgrupo de G? Justificar a sua resposta com os cálculos. Sim, temos que verificar as propriedades que definem um subgrupo considerando G1G2.
i) Temos que G1 G2 é não vazio, i.e. G1, 