Algebra

´ M´ INIMO MULTIPLO COMUM
Defini¸˜o 1 Um n´mero positivo m se diz m´ ca u ınimo m´ltiplo comum (mmc) de u a, b ∈ Z se: 1. a|m e b|m 2. se existir um inteiro m tal que a|m e b|m ent˜o m|m . a Mostre que dois n´meros a e b n˜o podem ter mais que um unico m´ u a ´ ınimo m´ltiplo u comum. Mostre que o mmc{a, 0} = 0, para todo a ∈ Z. ab a ´ o m´nimo e ı Teorema 1 Para quaisquer a, b ∈ Z∗ , se d = mdc{a, b} ent˜o m = + d m´ltiplo comum de a e b. u A demontra¸ao fica como exerc´ c˜ ıcio. Corol´rio 2 Sejam a, b ∈ Z∗ e d = mdc{a, b} e m = mmc{a, b}. Ent˜o md = |ab|. a a A demonstra¸ao fica como exerc´ c˜ ıcio. Corol´rio 3 Se a e b s˜o primos entre si, ent˜o mmc{a, b} = ab. a a a A demonstra¸ao ´ consequˆncia imediata do Corol´rio 2. c˜ e e a Exemplo 1 Use o Teorema 1 e seus corol´rios para calcular: a 1. mmc{20, 35} 2. mmc{−120, 68} 3. mmc{−42, −54} 4. mmc{20, 32, 40} A extens˜o do conceito de m´ a ınimo m´ltiplo comum em Z para 3 ou mais n´meros u u se faz naturalmente. No caso de 3 n´meros por exemplo , o c´lculo pode ser feito u a com base na seguinte propriedade (Prove): mmc{mmc{a, b}, c} = mmc{a, mmc{b, c}} Exemplo 2 Calcule mmc{60, 132, 64}.

Utilizando a decomposi¸˜o de n´meros em fatores primos, encontramos uma ca u outra maneira de determinar o mmc: a Teorema 4 Sejam a = pn1 · · · pnt e b = pm1 · · · pmt . Ent˜o t t 1 1 mmc{a, b} = pα1 · · · pαt , 1 t onde αi = max{ni , mi }, 1 ≤ i ≤ t. A demonstra¸ao fica como exerc´ c˜ ıcio. Exemplo 3 Dados a = 32 74 e b = 23 352 72 , calcule mmc{a, b}.

EXERC´ ICIOS
1. Determinar todos os n´meros compreendidos entre 1.000 e 4.000 que sejam u divis´ ıveis, ao mesmo tempo, por 75, 150 e 180. 2. Numa rep´blica, o Presidente deve permanecer durante 4 anos em seu cargo, u os senadores 6 anos e os deputados, 3 anos. Se, em 1929 houve elei¸oes para c˜ os 3 cargos, em que ano se realizar˜o novamente juntas as elei¸˜es para esses a co cargos? 3. Duas rodas de uma engrenagem tˆm, respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada e roda tem um