Algebra - zero de função

TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR II
ZERO DE FUNÇÕES

ZEROS DE FUNÇÕES

Caracterização Matemática

• Conhecida uma função f(x).
• Determinar o valor x* tal que f(x*)=0.
• Denomina-se x* de zero da função f(x) ou raiz da equação f(x)=0.
• Solução analítica:

o Equações algébricas (polinomiais) do 1o e 2o graus; o Certos formatos de equações algébricas do 3o e 4o graus; o Algumas equações transcendentais (não polinomiais).

Ilustração Através de Alguns Problemas de Engenharia

Equilíbrio de Mecanismos

Equilíbrio de Corpos Rígidos com Apoio Deformável

Equação de Manning

Equilíbrio de Corpos Flutuantes
Algoritmos de Solução

Métodos a Partir de um Intervalo (Bisseção e Cordas)

• Pré-requisitos: o Considere uma função f(x) contínua dentro de um intervalo [a, b]; o Considere ainda que nos extremos do intervalo [a, b] a função estudada apresente sinais contrários, ou seja, f(a)*f(b) 0 .

Resumindo:

• O ponto fixado (a ou b) é aquele onde o sinal da função ( f (x)) coincide com o sinal de sua derivada segunda ( f ′′(x)).
• A aproximação xn se faz do lado da raiz ε, onde o sinal da função ( f (x)) é oposto ao sinal de sua derivada segunda ( f ′′(x)).

Método de Newton

O Método de Newton-Raphson é um caso particular do método de iteração linear.
O método de iteração linear consiste em estimar a raiz de uma função f(x) usando o processo iterativo:

Essa expressão define a forma de ϕ(x). Podemos escrever uma forma geral para essa função dada por:

pois, para x igual à raiz de f(x), tem-se f(x)=0, ou seja x=ϕ(x) para qualquer A(x)≠0.
Para haver a convergência no método da iteração linear é preciso que