Algebra moderna - congruencias

Congruências Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido 01) Provar que n 7 − n é divisível por 7 para ∀n ∈ ℕ . Solução) Estudemos os casos de congruência n módulo 7 .
7 7 i) Se n ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ n − n ≡ 0 − 0 ≡ 0 ( mod 7 ) .

7 7 ii) Se n ≡ 1( mod 7 ) ⇒ n − n ≡ 1 − 1 ≡ 0 ( mod 7 ) . 7 7

iii) Se n ≡ 2 ( mod 7 ) ⇒ n − n ≡ 2 − 2 ≡ 126 ≡ 0 ( mod 7 ) .
7

7 7 iv) Se n ≡ 3 ( mod 7 ) ⇒ n − n ≡ 3 − 3 ≡ 2184 ≡ 0 ( mod 7 ) .

v) Se n ≡ 4 ≡ −3 ( mod 7 ) ⇒ n 7 − n ≡ ( −3 ) − ( −3) ≡ −2184 ≡ 0 ( mod 7 ) . vi) Se n ≡ 5 ≡ −2 ( mod 7 ) ⇒ n 7 − n ≡ ( −2 ) − ( −2 ) ≡ −126 ≡ 0 ( mod 7 ) .
7

vii) Se n ≡ 6 ≡ −1( mod 7 ) ⇒ n 7 − n ≡ ( −1) − ( −1) ≡ 0 ( mod 7 ) .
7

Portanto, está demonstrado que n 7 − n é divisível por 7 para ∀n ∈ ℕ . Exercício Resolvido 02) Provar que 11n + 2 + 122 n +1 é divisível por 133 para ∀n ∈ ℕ . Solução)
2 2 n n n+2 n Como 11 = 121 ≡ −12 ( mod 133) ⇒ 11 ⋅11 ≡ −12 ⋅11 ( mod 133) ⇒ 11 ≡ −12 ⋅11 ( mod 133) (1) .

Reparando que 12 2 = 144 = 11( mod 133) ⇒ 122

( )

n

≡ 11n ( mod 133) ⇒ 12 ⋅122 n ≡ 12 ⋅11n ( mod 133) ( 2 ) .

n+ 2 2 n +1 ≡ 0 ( mod 133) . c.q.d Somando (1) e (2), teremos o resultado procurado: 11 + 12

Exercício Resolvido 03) (IME) Provar que para qualquer número inteiro k , os números k e k 5 terminam sempre com o mesmo algarismo. Solução)
5 Basta demonstrarmos que k − k ≡ 0 ( mod 10 ) . Portanto, estudemos todos os casos possíveis de

congruência k módulo 10 .
5 5 i) Se k ≡ 0 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 0 − 0 ≡ 0 ( mod10 ) .

5 5 ii) Se k ≡ 1( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 1 − 1 ≡ 0 ( mod10 ) .

5 5 iii) Se k ≡ 2 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 2 − 2 ≡ 30 ≡ 0 ( mod10 ) .

5 5 iv) Se k ≡ 3 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 3 − 3 ≡ 240 ≡ 0 ( mod10 ) .

5 5 v) Se k ≡ 4 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 4 − 4 ≡ 1020 ≡ 0 ( mod10 ) .

5 5 vi) Se k ≡ 5 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ 5 − 5 ≡ 3120 ≡ 0 ( mod10 ) .

vii) Se k ≡ 6 ≡ −4 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ ( −4 ) − ( −4 ) ≡ −1020 ≡ 0 ( mod10 ) .
5 5 5 viii) Se k ≡ 7 ≡ −3 ( mod10 ) ⇒ k − k ≡ ( −3) − ( −3) ≡ −240 ≡ 0 ( mod10 ) . 5