algebra linear

Capítulo 6
Valores próprios e vectores próprios
6.1 Encontrar os valores e vectores próprios das seguintes matrizes:
3 0  10 − 9
0 3
 − 2 − 7
0 0 1 0
a) 
 b)  4 − 2 c) 4 0 d)  1
 e) 0 0 f) 0 1
2
8 −1 





 

6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares
T : R 2 → R 2 , represente as rectas que se transformam em si próprias por aplicação de T.
6.3 Encontrar os valores próprios e os vectores póprios para as seguintes matrizes:
1
 4 0 1
3 0 − 5 
− 2 0
 −1 0 1 
− 2 1 0 b)  1 − 1 0  c)  − 6 − 2 0  d)  − 1 3 0 
a)


5





 − 2 0 1
1 1 − 2
 19 5 − 4
− 4 13 − 1








2
 5 0 1
5 6
 1 1 0 f) 0 − 1 − 8
e)




− 7 1 0
1 0 − 2




6.4 Encontrar os valores próprios e bases para os espaços próprios das seguintes matrizes:
0
0 0 2 0
10 − 9 0
1 0 1 0
4 −2 0
0

 b) 

a)
0 − 2 − 7
0 1 − 2 0
0




0
1
2
0 0 0 1 
0
6.5 Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear definida por
T ( a0 + a1 x + a2 x 2 ) = ( 5a0 + 6 a1 + 2 a2 ) − ( a1 + 8a2 ) x + ( a0 − 2 a2 ) x 2
a) Encontrar os valores próprios da transformação.
b) Encontrar os espaços próprios da transformação.
6.6 Seja T : M 2,2 → M 2,2 uma transformação linear definida por: a12    2a 21 a11 + a21 
 a
T   11
  =  a − 2a
 a

a 22 
21

  21 a 22    12
a) Encontrar os valores próprios de T.
b) Encontrar os vectores próprios de T.
6.7 Prove que a existência de um valor próprio λ = 0, para uma transformação linear T, é equivalente ao facto de T ser não invertível.
6.8 Quais as dimensões dos espaços próprios de cada uma das matrizes:

4
 1 −4 2 
1 1 1
6 0 0
4
1 1
a) 
b) − 4 1 − 2 c) 1 1 1 d) 0 3 3 e) 







0
1 1
 2 − 2 − 2
1 1 1
0 3 3







0 nota- não calcule os vectores