Algebra linear

Métodos para resolução de problemas (Álgebra Linear)
1. Verificar se a transformação é linear i) Verificar se T(u+v) = T(u) + T(v); ii) Verificar se T(λ.u) = λ.T(u).
Exemplos:
1) 2) T: R→R
T(x) = x²

3)
T: R²→R²
T(x,y) = (-x,2x-y)

4)
T: R³→R²
T(x,y,z) = (x-z,x+y)

2. Identificar a T.L. conhecendo as imagens da base i) escrever um vetor qualquer como combinação linear das bases; ii) aplicar a T.L. dos dois lados da equação.
Exemplos:
1) 2) T: R²→R³
T(1,0) = (2,0,-1)
T(0,1) = (0,0,3)

3)
T: R³→R²
T(1,1,0) = (0,2)
T(0,-1,0) = (1,1)
T(0,0,2) = (-1,3)

4)
T: R²→R²
T(1,1) = (0,4)
T(2,-1) = (1,1)

3. Encontrar IMAGEM e NÚCLEO da T.L. e suas dimensões
Imagem:
i) Transformar a T.L. numa combinação linear e encontrar os geradores; ii) Verificar se os geradores são L.I. (montando matriz com linha = vetor); iii) Eliminar um gerador para cada linha nula da forma escada.
Núcleo:
i) T(u) = vetor nulo; ii) Resolver o sistema para encontrar os vetores cuja imagem é nula;
Exemplos:
1) 2) T: R³→R²
T(x,y,z) = (y,x+z)

3) T: R²→R³
T(x,y) = (-y,0,y)

4) T: R³→R²
T(x,y,z) = (y+z,x+y)

Métodos para resolução de problemas (Álgebra Linear)
4. Encontrar a matriz associada à T.L. i) Calcular as imagens das bases do espaço vetorial inicial; ii) Escrever um vetor qualquer utilizando as bases do espaço vetorial final; iii) Escrever as imagens calculadas utilizando as bases do espaço vetorial final; iv) Os coeficientes de cada base formarão as colunas da matriz.
Exemplos:
1) 2) T:R²→R³
T(x,y)=(-x+y,y,x)
β = {(1,2),(-1,0)} βʼ = {(1,0,1),(0,-1,0),(0,0,2)}

3) T: R³→R²
T(x,y,z) = (x+y,-z) β = {(1,1,1),(0,1,-1),(0,0,2)} βʼ = {(1,-1),(0,2)}

4)
T: R²→R²
T(x,y) = (x+y,-x) β = {(1,0),(0,1)}

5. Encontrar a T.L. a partir da matriz associada e as bases i) Encontrar as imagens das bases a partir das colunas da matriz (coluna = coeficiente); ii) Encontrar a