algebra linear escalonamento

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial e A = { v1, v2, . . ., vn }  V.
Consideremos a equação a1v1 + a2v2 + . . . + anvn = 0
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a1 = 0, a2 = 0, . . ., an = 0 chamada solução trivial.
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O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v1, v2, . . ., vn são LI, no caso da equação a1v1 + a2v2 + . . . + anvn = 0 admitir apenas a solução trivial.
Se existirem soluções ai  0, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD) ou os vetores v1, v2, . . ., vn são LD. Exemplos:
1) No espaço vetorial V = IR4 , verifique se os vetores u = (2, 2, 3, 4), v = (0, 5, −3, 1) e w = (0, 0, 4, −2) são LI ou LD.
2) Mostre que os vetores v1 = (2, 1, −1) e v2 = (4, 2, −2) são LD.
Teorema:
Um conjunto A = { v1, v2, . . ., vn } é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros. O que equivale a dizer que: Um conjunto A = { v1, v2, . . ., vn } é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combinação linear dos outros.
3) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
a) {(2, −1), (1, 3)}  IR²
b) {(2, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 3, 2)}  IR³.
c) {(1, −3, 2), (2, 4, −1)}
d) {(3, 2), (6, 4)}  IR²
e) (1, −2, 3) e v = (2, −4, 6)
Definição
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Seja V um espaço vetorial e S = { v1, v2, . . ., vn } é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se:
i) S é LI ii) S gera V.
Exemplos:
1) S = {(1, 1), (−1, 0)}
2) S = {(0, 1), (0, 2)}
3) S = {(1, 0, 0), (0, 1,