ALGA

´
Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica I
Maria Am´lia Fonseca Lopes Lucas e 2011/2012

Cap´ ıtulo 1

Matrizes e sistemas de equa¸oes c˜ lineares
1.1

Conjuntos

Ao longo deste curso,
• lN representa o conjunto dos n´meros naturais ( lN = {1, 2, 3, . . .}); u • lN0 representa o conjunto lN ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .};
• Z representa o conjunto dos n´meros inteiros ( Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .});
Z
u
Z
• Q representa o conjunto dos n´meros racionais; l u
• lR representa o conjunto dos n´meros reais; u • C representa o conjunto dos n´meros complexos. l u
Sejam A e B conjuntos. Recorde-se que:
• A ⊆ B se todo o elemento de A ´ tamb´m elemento de B; e e
• A = B se e s´ se A ⊆ B e B ⊆ A; o • A ⊆ B se existe, pelo menos, um elemento de A que n˜o ´ elemento de B; a e
• A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B};
• A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B};
• A ⊆ A ∪ B ,B ⊆ A ∪ B ,A ∩ B ⊆ A ,A ∩ B ⊆ B ;
• Se A ⊆ B dizemos que A ´ subconjunto de B . e Chamamos complemento de B em A ao conjunto constitu´ pelos elementos de A que n˜o ıdo a pertencem a B . Denotamos o complemento de B em A por A \ B . Assim,
A \ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.

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ALGA I 2011/2012

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Chamamos produto cartesiano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados a ∈ A e b ∈ B. Este conjunto ´ denotado por A × B . Portanto, e 1

(a, b), com

A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Mais geralmente, se n ∈ lN , n ≥ 2 , e A1 , . . . , An s˜o conjuntos, a A1 × · · · × An = {(a1 , . . . , an ) : a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }
´ o produto cartesiano de A1 , . . . , An . e Dados (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ A1 × · · · × An , temos
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) se e s´ se a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn . o Se A1 = · · · = An = A , denotamos A1 × · · · × An por An . Por conven¸˜o, A1 = A . ca Se (a1 , . . . , an ) ∈ An , dizemos que (a1 , . . . , an ) ´ um n-uplo de elementos de A . e Exemplo 1.1.1 Tem-se: lR2 = {(a1 , a2 ) : a1 ,