Alessandro

Sistemas Lineares
Equa¸c˜oes Lineares
V´arios problemas nas ´areas cient´ıfica, tecnol´ogica e econˆomica s˜ao modelados por sistemas de equa¸c˜oes lineares e requerem a solu¸c˜ao destes no menor tempo poss´ıvel.
Defini¸c˜ao. Uma equa¸c˜ao linear em n inc´ognitas x1, ..., xn ´e uma equa¸c˜ao da forma a1x1 + ... + anxn = b, onde a1, ..., an, b s˜ao constantes reais.
Uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao linear acima ´e um conjunto de n´umeros reais s1, s2, ..., sn tais que quando substitu´ımos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn, a equa¸c˜ao ´e satisfeita.
Exemplo 1. Resolva as seguintes equa¸c˜oes lineares:
a) 3x = 5
Esta equa¸c˜ao tem como solu¸c˜ao ´unica x = 5/3, logo o seu conjunto solu¸c˜ao ´e S =

5
3

.
b) 0x = 1
Esta equa¸c˜ao n˜ao tem nenhuma solu¸c˜ao, pois n˜ao existe nenhum n´umero real que multiplicado por 0 dˆe 1. Portanto
S = ;.
c) 5x + 10y − 2z = 3
Isolamos qualquer uma das vari´aveis, escrevendo ela em fun¸c˜ao das outras. Por exemplo, isolando x, temos x =
3
5 − 2y +
2
5z, isto ´e, escrevemos x em fun¸c˜ao de y e z. As vari´aveis y e z n˜ao dependem de nenhuma outra; elas s˜ao vari´aveis livres. Logo, elas podem assumir quaisquer valores reais arbitr´arios, digamos y =  e z = .
Portanto, o conjunto solu¸c˜ao deste sistema ´e infinito e tem a forma
S =
8<
:
2
4
3
5 − 2 + 2
5,

3
5 : ,  2 R
9=
;.
1
Ou seja, toda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao tem esta forma, para algum valor de  e algum valor de . Por exemplo, x = 3
5 , y = 0, z = 0, e x = −9
5 , y = 1, z = −1, s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao: a primeira corresponde a tomar  = 0 e  = 0, enquanto que a segunda corresponde a tomar  = 1 e  =