Ajuste de Curvas (Calculo Numérico)

Capítulo 5: Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados

1. Diagrama de dispersão
No capítulo anterior estudamos uma forma de lidar com funções matemáticas definidas por uma tabela de valores. Frequentemente, no entanto, estas tabelas são obtidas com base em dados experimentais contendo erros inerentes ao método de medição utilizado.
Para ilustrar o problema, considere-se uma série de medições de natureza física (xi,yi), i=0,...,n, onde cada yi foi obtido experimentalmente e aproxima o valor de uma função no ponto xi, i.e., yi≅f(xi).
Estes valores podem representar-se num gráfico cartesiano formando uma “nuvem de pontos”, a este gráfico chamamos diagrama de dispersão. Exemplo
90

80

70

60

50

40

30
20

40

60

80

100

120

140

160

Figura 1: Diagrama de dispersão
A relação funcional y=f(x) pode ser completamente desconhecida e a sua forma sugerida pelo gráfico dos pontos, consistindo o problema na procura da curva y=g(x) que melhor se ajusta, num dado sentido, à
“nuvem de pontos” observada. Nestas condições a função g(x) diz-se uma aproximação da relação funcional desconhecida y=f(x).

1

Como os valores tabelados não são “exactos” não é razoável nestes casos utilizar interpolação, ou seja, exigir que a função aproximante satisfaça exactamente os dados. De facto, em vez de recorrer a um polinómio que passe exactamente por todos os pares de valores (xi,f(xi)), i=0,..,n, uma melhor abordagem será a fazer passar a função aproximante, g(x), o mais próximo possível dos pontos (xi,f(xi)), i=0,..,n.

2. Rectas de regressão. Coeficiente de determinação e resíduos
O modelo mais simples que relaciona duas variáveis x e y é dado por y=β0+β1x que é a equação de uma recta. β0 e β1 são os parâmetros do modelo.
Consideremos o seguinte diagrama de dispersão
2

1

0

-1

-2
-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 2: Diagrama de dispersão e recta ajustada
E