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Apˆndice A e Vetores
Um vetor ´ uma medida caracterizada por uma magnitude, uma dire¸˜o e um e ca sentido. Ele obedece duas opera¸oes: c˜ 1. Adi¸˜o: para qualquer par de vetores a e b, o vetor a+b ´ chamado soma ca e de a e b. A soma de vetores segue a regra do paralelogramo ilustrada na figura A.1;
2. Multiplica¸˜o por um escalar: para cada escalar α e cada vetor a, o vetor ca αa ´ chamado produto de α por a. e Essas opera¸˜es satisfazem certas propriedades (comutatividade, associativico dade, etc) que podem ser consultadas em qualque livro sobre ´lgebra linear. a a+

b aa a

a b Figura A.1: Soma de vetores pela regra do paralelogramo. Multiplica¸˜o de ca um vetor por um escalar.

A.1

Produto escalar e magnitude

O produto escalar ´ uma opera¸˜o que associa a cada par de vetores a e b um e ca escalar a · b e que satisfaz, para quaisquer vetores a, b e c e escalares α e β, as seguintes propriedades de simetria, positividade e bilinearidade:
1. a · b = b · a
2. a · a > 0 se a ̸= 0 a · a = 0 se a = 0

1

Mecˆnica 1 – Setembro 2011 a Vetores

3. (a + b) · c = a · c + b · c, αa · b = α(a · b) a · (b + c) = a · b + a · c, a · βb = β(a · b)
Para quantificar a magnitude de um vetor definiremos uma opera¸ao chac˜ mada norma que associa a cada vetor a um escalar |a| e que satisfaz, para quaisquer vetores a e b e escalar α, as seguintes propriedades:
1. |a| > 0 se a ̸= 0
|a| = 0 se a = 0
2. |αa| = |α| |a|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
´
Um vetor a ser´ chamado vetor unit´rio se |a| = 1. E sempre poss´ a a ıvel representar um vetor a ̸= 0 como a = |a| e, onde e ´ um vetor unit´rio com e a def mesma dire¸˜o e sentido de a. Basta definir e = a/||a||. O conceito de vetor ca unit´rio ´ ilustrado no figura A.2. a e

|a| a 1

e = a / |a|
Figura A.2: Vetor unit´rio. a A magnitude de um vetor ser´ definida como a |a| =

def

√ a·a (A.1)

Pode-se mostrar que esta defini¸ao satisfaz as trˆs