AED - Aplicação de Sistema Linear

Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Docente: Arlindo
Discente: Lucas Rodrigo Bento Souza
Disciplina: Fundamentos III

Aplicação de Sistema Linear

Tráfego de veículos

Problema:
Suponhamos, uma certa região onde possui várias ruas em mão única, como na imagem abaixo, onde a média de veículos por hora que entram e saem são dadas, e quer se determinar a quantidade veículos que passam pelos quatros cruzamentos

Solução:
1º) Cada cruzamento o número de veículos que entra deve ser igual ao número de veículos que sai.
No cruzamento A, o número de veículos que entra é x1 + 450 e o número de veículos que sai é x2 + 610. Assim temos: x1 + 450 = x2+ 610
Faz isso para todos outros cruzamentos:
P/ cruzamento B: x2 + 520 = x3+ 480
P/ cruzamento C: x3+ 390 = x4 + 600
P/ cruzamento D: X4+ 640 = x1 + 310
2º) Monta-se o sistema: x1 - x2 = 160 x2 - x3 = 40 x3 - x4 = 210 x4 - x1 = 330
3º Faz-se a matriz aumentada do sistema:
1 -1 0 0 | 160
0 1 -1 0 | -40
0 0 1 -1 | 210
-1 0 0 1 |-330
4º Escalonamento (eliminação de Gauss)

Obtemos a seguinte matriz:
1 0 0 -1| 330
0 1 0 -1|170
0 0 1 -1|210
0 0 0 0 |0
5º Assim, encontrando a solução geral do sistema: (330 + x4, 170 + x4, 210 + x4, x4)

Logo, concluímos que o sistema é compatível, e, existe uma variável livre (x4), existem então infinitas soluções (dependência linear)
Nosso fluxo de tráfego não contém informações completas para determinar
X1, x2, x3 e x4. Mas caso o número de veículos entre dois cruzamentos fosse conhecido, o tráfego nos outros cruzamentos ficaria determinado.

- Exemplo: Suponhamos que se uma média de 200 veículos trafegam por hora entre os cruzamentos C e D, logo x4 = 200. Então poderíamos determinar os valores de x1, x2 e x3 em relação á x4, encontrando assim, x1 = 530, x2 = 370 e x3 = 410.