Ad1 álgebra linear 2005-2

Gabarito Parte I ´ Algebra Linear: AD1 - CEDERJ Mauro Rincon & M´rcia Fampa - 2005 a Tutores: Rodrigo Olimpio e Cristina Lopes
1. Considere o conjunto B = {v1 , v2 , v3 }, onde v1 = (1, 2, 3), v2 = (−5, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1). (a) |v1 | = |v2 | = |v3 | = √ 14. √ ((−5)2 + 12 + 12 ) = (25 + 1 + 1) = 27. √ (02 + 02 + 12 ) = (0 + 0 + 1) = 1 = 1. (12 + 22 + 32 ) = (1 + 4 + 9) =

(b) Por defini¸˜o, para vetores v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ), temos que ca d(v1 , v2 ) = Assim, d(v1 , v2 ) = √ 41. (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . √ 36 + 1 + 4 =

(−5 − 1)2 + (1 − 2)2 + (1 − 3)2 = √

Logo d(v1 , v2 ) = |v1 − v2 | = (c) i) v1 e v2

41.

v1 .v2 = 1 × (−5) + 2 × 1 + 3 × 1 = −5 + 2 + 3 = 0 =⇒ v1 ⊥ v2 . ii) v1 e v3 v1 .v3 = 1 × 0 + 2 × 0 + 3 × 1 = 0 + 0 + 3 = 3 = 0 =⇒ v1 e v3 n˜o s˜o a a ortogonais. Verifiquemos se s˜o paralelos: a x3 0 y3 0 z3 1 = = 0, = = 0, = x1 1 y1 2 z1 3 isto ´, as coordenadas de v1 e v3 n˜o s˜o proporcionais =⇒ v1 e v3 n˜o e a a a s˜o paralelos. a

iii) v2 e v3 v2 .v3 = −5 × 0 + 1 × 0 + 1 × 1 = 0 + 0 + 1 = 1 = 0 =⇒ v2 e v3 n˜o s˜o a a ortogonais. Verifiquemos se s˜o paralelos : a 0 0 1 x3 y3 z3 = = = 0, = =1 = 0, x2 −5 y2 1 z2 1 =⇒ v2 e v3 n˜o s˜o paralelos. a a (d) Seja θ o ˆngulo entre os vetores v1 e v2 . a cos(θ) = v1 .v2 . |v1 |.|v2 |

Usando resultados dos itens anteriores, temos:

Sabemos do item anterior que v1 ⊥ v2 . Logo θ = 90◦ . Usando a f´rmula o temos: cos(θ) =
√ 0√ 14. 27

= 0 =⇒ θ =

π 2

= 90◦ .

Seja α o ˆngulo entre os vetores v1 e v3 . a cos(α) = v1 .v3 |v1 |.|v3 |

=

√3 14.1

≈ 0, 8 =⇒ α ≈ 0, 64 rad ≈ 36, 8◦ .

Seja β o ˆngulo entre os vetores v2 e v3 . a cos(β) = v2 .v3 |v2 |.|v3 |

=

√1 27.1

≈ 0, 1924 =⇒ β ≈ 1, 37 rad ≈ 78, 9◦ . .

(e) v1 , v2 , v3 s˜o linearmente independentes ? Sejam α1 , α2 , α3 ∈ a

α1 (1, 2, 3) + α2 (−5, 1, 1) + α3 (0, 0, 1) = 0. Assim, temos o sistema linear abaixo:

α1 − 5α2 = 0 2α1 + α2 = 0 3α1 + α2 + α3 = 0

(1) (2) (3)

Fazendo