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AD1 - Geometria Analítica I - 2014.1
Gabarito
Questão 1:

[2,0 pontos]

Sejam ABC um triângulo e D, E e F os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respectivamente. Veja a figura abaixo.

− → − → −→ →
−
−
−
−
Mostre que AD + BE + CF = 0 .
Solução:
Note que:
− → −→ − →
−
−
−
AD = AB + BD ,
−→ −→ −→
−
−
−
BE = BC + CE ,
−→ −→ −→
−
−
−
CF = CB + BF , então, − → − → −→
−
−
−
AD + BE + CF =
=
=
=

−→ − → − → − → − → − →
−
−
−
−
−
−
AB + BD + BC + CE + CB + BF
− → 1 − → −→ − →
−
−
−
−
AB + 2 (BC + CA + BA )
−
−
−→ 1 −→ −→
−
AB + 2 (BA + BA )
→
−
0 .

Questão 2: [2,0 pontos]
Considere os pontos do plano A = (1, 3) e B = (2, −1).
(a) Faça um esboço e determine as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A e B.
(b) Verifique se o ponto (0, 3) pertence à reta r encontrada no item anterior. Não utilize justificativa geométrica, ou seja, não justifique a resposta usando apenas o gráfico da reta.
Solução:
−→
−
(a) O vetor AB = (1, −4) é paralelo à reta r, assim podemos encontrar diretamente as equações paramétricas da reta: r: x=1+t
, t ∈ R. y = 3 − 4t
1

A figura abaixo mostra o esboço da reta r.

(b) Para decidirmos se o ponto (0, 3) pertence a r, verificaremos se existe um parâmetro t tal que
0=1+t
(0, 3) = (1 + t, 3 − 4t) ⇐⇒
. Se 0 = 1 + t, então t = −1. Substituindo o valor de t na
3 = 3 − 4t segunda equação vemos que 3 = 3 − 4(−1) = 7, que é uma afirmação falsa. Logo, não existe um valor de
0=1+t
t que satisfaça
, ou seja, (0, 3) ∈ r.
/
3 = 3 − 4t
Pelo gráfico da reta feito no item anterior, podemos confirmar que nosso cálculo está correto, pois a reta não passa pelo ponto (0, 3).

Questão 3: [1,5 pontos] x = 3t + 1
, t ∈ R e r2 : y = −2t + 2

Verifique se as equações paramétricas r1 :

x = −6t − 2
, t ∈ R representam y = 4t + 4

a mesma reta.
Solução:
→
A reta r1 é paralela ao vetor − = (3, −2) e passa pelo ponto A1 = (1, 2). E a reta r2 é paralela ao v1 →