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Instituto Superior Técnico - Álgebra Linear - 1o Semestre 2014/2015
LEAN - LEMat - MEQ
Resolução da 9a Ficha de exercícios
1. (i) (312645) é par pois tem 4 inversões.
(iii) (654321) é ímpar pois tem 15 inversões.
(v) (546321) é ímpar pois tem 13 inversões.
(vii) (634125) é ímpar pois tem 9 inversões.

(ii) (234516) é par pois tem 4 inversões.
(iv) (123456) é par pois tem 0 inversões.
(vi) (453261) é par pois tem 10 inversões.
(viii) (123465) é ímpar pois tem 1 inversão.

2. (i) (234516) é par pois tem 4 inversões e (312645) é par pois tem 4 inversões. Logo, tem-se
+a23 a31 a42 a56 a14 a65 uma vez que (234516) e (312645) têm a mesma paridade.
(ii) (123456) é par pois tem 0 inversões e (654321) é ímpar pois tem 15 inversões. Logo, tem-se a16 a25 a34 a43 a52 a61 uma vez que (123456) e (654321) têm paridades diferentes.
(iii) (546321) é ímpar pois tem 13 inversões e (453261) é par pois tem 10 inversões. Logo, tem-se a54 a45 a63 a32 a26 a11 uma vez que (546321) e (453261) têm paridades diferentes.
(iv) (123465) é ímpar pois tem 1 inversão e (634125) é ímpar pois tem 9 inversões. Logo, tem-se
+a16 a23 a34 a41 a62 a55 uma vez que (123465) e (634125) têm a mesma paridade.
3. (i) (123) é par pois tem 0 inversões e (321) é ímpar pois tem 3 inversões. Atendendo à de…nição de determinante, tem-se
0
0 a13
0 a22 a23 a31 a32 a33

=

a13 a22 a31

uma vez que (123) e (321) têm paridades diferentes.
(ii) (1234) é par pois tem 0 inversões e (4321) é par pois tem 6 inversões. Atendendo à de…nição de determinante, tem-se
0
0
0 a14
0
0 a23 a24
= a14 a23 a32 a41
0 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 uma vez que (1234) e (4321) têm a mesma paridade.
1

(iii) Ao efectuar n 1 + n 2 + ::: + 2 + 1 trocas de linhas: linha 1 com cada uma das n 1 linhas que lhe estão abaixo, nova linha 1 com cada uma das n 2 linhas que lhe estão abaixo (excluindo a nova linha n) e assim sucessivamente, tem-se
2
3
2
3
0
0 a1n an1 ann 6
7
6 n 1 an 1 n 7
7 = ( 1)n 2 det 6 0 an 1 2
7=
det 6
4 0 an 1 2
4
5 an 1 n 5 an1 ann