89227758 Exercicios Do Livro De Arnaldo Garcia E Yves Lequain

Estruturas Algébricas
Moisés Toledo∗
13 de abril de 2012

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Solução de exercícios - Lista №1

Exercício 1. Faça os itens seguintes:
a) Seja G = {e, g1 , g2 , . . . , gn } um grupo abeliano de ordem n + 1. Suponha que G possui um único elemento de ordem 2, digamos g1 . Mostre que eg1 . . . gn = g1 .
b) Seja p um número primo impar. Mostre que o grupo (Z∗p , p ) possui um único elemento de ordem 2, a saber p − 1, e mostre que (p − 1)! ≡ −1 mod p (Teorema de Wilson).
Demonstração.
a) Suponhamos que eg1 g2 . . . gn = g1 então eg1 g2 . . . gn = gi , para algum inteiro
2 ≤ i, assim g1 g2 . . . gi−1 gi+1 . . . gn = e o qual nos indica que gk possui inversa gm com exceção de g1 (pois g1−1 = g1 ) isto é: g1−1 = g1 , . . . , gj−1 = gij , . . . , gn−1 = gin onde ij ∈ {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} e gij ∈ {g2 , g3 , . . . , gn } logo fazendo a contagem de elementos temos: (n+1−2)
+2 =
2
n + 1 então n = 1 o qual contradiz ao fato da cardinalidade de G pois este tem pelo menos dois elementos (e, g1 e eg1 g2 . . . gn = gi , pelo assumido no início). Por tanto eg1 g2 . . . gn = g1 .
b) Seja p um primo impar. É claro que se n = p−1 então (p−1)(p−1) = p2 −2p+1,
2
então (p − 1) · (p − 1) = (p − 1) = 1.
Agora seja 1 = n ∈ Z∗p tal que n2 − 1 ≡ 0 mod p, assim (n + 1)(n − 1) = λ · p, λ ∈ N, mas 2 ≤ n ≤ p − 1, logo p (n − 1) e p | (n + 1), assim n = (p − 1), assim n = p − 1.
Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos 1 · 2 . . . (p − 1) = (p − 1) então (p − 1)! = (p − 1) tomando congruência módulo p temos (p − 1)! ≡ −1 mod p.
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Universidade Federal da Paraíba

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Exercício 2. Procure os elementos do grupo (Z∗24 ,

24 )

e calcule suas ordens.

Solução:
Faremos uso do seguinte resultado sobre a caraterização de elementos invertíveis em
Zn :
Um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se,(a, n) = 1.
Assim temos que: Z∗24 = {a; a = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. As ordens de seus elementos são facilmente calculados:
O(1) = 1
O(13) = 2