8 Redes Fluxo

Equação diferencial de fluxo tridimensional
Fluxo tridimensional decomposto nas três direções ortogonais: z Mecânica dos Solos 1

dz

dx

h = carga total no centro do elemento

dy x Gradiente na direção ix:x 

h
x

y

ix   h   2 h mas o gradiente é variável segundo a direção x, 
 2
x x  x  x
h   2 h   dx 
  2  na face de entrada:

x  x  2 

 h  2 h dx 
Vazão na face de entrada, segundo Darcy:
 dydz qE K x   2
 x x 2 

Equação diferencial de fluxo tridimensional z Analogamente, vazão na face de saída:

Mecânica dos Solos 1

dz

dx y  h  2 h dx 
 dydz qS K x   2
 x x 2 

dy x  h  2 h dx 
 h  2 h dx 
 dydz  K x   2
 dydz
 2 então qS  q E K x 
 x x 2 
 x x 2 
2h
qS  qE K x 2 dxdydz
x

2h qS  qE K y 2 dxdydz fazendo o mesmo para as outras direções:
y
2 h qS  qE K z 2 dxdydz
z

Equação diferencial de fluxo tridimensional
Durante o fluxo pelo elemento não há variação de volume do elemento.
Então o volume de água que entra no elemento é igual ao volume de água que sai no mesmo intervalo de tempo,

Mecânica dos Solos 1

 qS  qE  x   qS  qE  y   qS  qE  z 0

2 h
2 h
2 h 
 K x 2  K y 2  K z 2  dxdydz 0
x
y
z 

como dxdydz 0

 2h
2h
2 h 
 K x 2  K y 2  K z 2  0
x
y
z 


2 h
2h
K x 2  K z 2 0 considerando fluxo bidimensional,
x
z
Se o solo for isotrópico,
K x K z

2h 2h
 2 0
2
x
z

Equação de isotrópicos Fluxo

bidimensional

2 h 2 h
 2 0
2
x
y

em

solos

Equação
Laplace

de

Mecânica dos Solos 1

Métodos de solução:
• Método analítico

Solução analítica da equação diferencial. Simples apenas para fluxo unidir

2 h
0
2
x
Solução:

h cz  d

onde c e d são constantes

Condições de contorno:

z 0  h 150 e z 50  h 100
Substituindo na solução: d 150 e c

h 150  z

-1

Equação de isotrópicos Fluxo

bidimensional

em

solos

Mecânica dos Solos 1

• Método gráfico
Solução analítica
duas