36770 Trabalho terceira nota civil 2014

Atividade 2 – ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Marcos Roberto
1) Seja 𝒗 um vetor fixo não nulo em ℝ2 . Uma aplicação 𝑇: ℝ2 → ℝ2 , dada por 𝑇(𝑢) = 𝑢 + 𝒗 é chamada de translação. Mostre que a translação não é uma transformação linear. Ilustre geometricamente o efeito de uma translação.
2) Determine se as transformações abaixo são lineares. Se não, indique quais condições não são satisfeitas: a) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 , 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 𝑥, 𝑦)
b) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 , 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 + 𝑦)
c) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 , 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑥 2 + 𝑦 2 )
d) 𝑇: 𝑀𝑛×𝑛 (ℝ ). → 𝑀𝑛×𝑛 (ℝ ), 𝑇(𝐴) = 𝐴 − 𝐴𝑇
e) 𝑇: 𝑃2 (ℝ) → 𝑃3 (ℝ), 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) + 𝑥𝑝(𝑥) + 𝑥 2 𝑝′ (𝑥)
f) 𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ, 𝑇(𝑓) = (𝑓(0) + 𝑓(1))/2
1

g) 𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ, 𝑇(𝑓) = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3) Seja T: ℝ2 ⟶ ℝ3 tal que T(-2,3)=(-1,0,1) e T(1,-2)=(0,-1,0). Faça o que se pede:
a) Mostre que B = {(-2, 3), (1, -2)} formam uma base do ℝ2 e escreva (x, y) em função dos vetores de B;
b) Utilize o resultado anterior para encontrar a expressão de T(x, y);
c) Determine o núcleo e a imagem de T;
d) Determine uma base e a dimensão para o núcleo e a imagem de T.
4) Em cada afirmação abaixo diga se é verdadeiro ou falso e justifique:
a) T: ℝ3 ⟶ ℝ3 , dada por T(x, y, z)=(x+z, x-z, y) é um automorfismo;
b) T: ℝ3 ⟶ ℝ4 , dada por T(x, y, z)=(x,x-y,y-z,z) é um isomorfismo;
c) Dado T: 𝑉 ⟶ W, se U é um subespaço de V, então a imagem de U por T é um subespaço de
W
5) Mostre que a transformação T: ℝ3 → ℝ3 , dado por T(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) é transformação bijetora.
6) Considere as transformações no ℝ2 , onde k é uma constante positiva :
I.
T(x, y) = (kx, y) (dilatação ou contração na direção do eixo x);
II.
T(x, y) = (x, ky) (dilatação ou contração na direção do eixo y);
III.
T(x, y) = (x + ky, y) (cisalhamento na direção do eixo x);
IV.
T(x, y) = (x, y + kx) (cisalhamento na direção do eixo y);
Faça o que se pede:
a) Encontre a matriz canônica para estas transformações;

b) Aplique o efeito a uma curva parametrizada e