3 Desenvolvimento

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM

1.1 CONCEITO
Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais. O objetivo é discutir propriedades de soluções de equações diferenciais ordinárias e descrever alguns métodos que se mostram eficientes para encontrar as soluções do ponto de vista analítico e numérico. Uma equação diferencial que descreve algum processo químico, físico, econômico... Etc. são chamadas de modelo matemático, e com a contextualização desse processo chega a equação a partir das descrições destes processos é chamado de modelagem do problema.
Ordem de uma EDO é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação.

Abaixo segue algumas equações diferenciais denominadas de primeira ordem devido a ordem da derivada de maior ordem ser um:

3y” + 4y’ + 5y = cos x e y’ + 2xy = 3x²

2 RESOLUÇÃO DA EDO PELO FATOR INTEGRANTE

2.1 CONCEITO
Fator integrante é uma função que serve para facilitar uma integração para resolver a equação. Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma determinada função u(t) de modo que a equação resultante seja facilmente integrável.

2.2 EXERCÍCIO CONCEITUAL
Suponha que a EDO de primeira ordem seja da forma: y′(x) + p(x) y(x) = g(x)
Multiplicando a EDO por u(x): u(x) y′(x) + u(x) p(x) y(x) = u(x) g(x)
Definindo:
u′(x) = u(x) p(x) Ficamos com: u(x) y′(x) + u′(x) y(x) = u(x) g(x)
Ou ainda: d [u(x) y(x)] = u(x) g(x)
Portanto,
u(x) y(x) = ∫ u(x) g(x) dx + C Onde C é uma constante de integraçnao que deve ser determinada com uma condição adicional sobre y(x). Segue que: y(x) = ∫ u(x) g(x) dx + C u(x)

Para obter o fator integrante u(x) voltamos à Eq. u’(x) dx = u(x) p(x) = u(x) p(x)
Usando o método de separação de variáveis rescrevemos