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ECT 1301 - 2012/2
Probabilidade e Estat´ ıstica Aula de Exerc´ ıcios 2 - Distribui¸oes Discretas c˜ 1. Dada a seguinte fun¸˜o massa de probabilidade para uma vari´vel aleat´ria: ca a o x
−2
p (x) 1/8

−1
2/8

0
2/8

1
2/8

2
1/8

(a) Determine P (−1 ≤ X < 1).
P (−1 ≤ X < 1) = p (−1) + p (0) = 2/8 + 2/8 = 0.5
(b) Determine a fun¸˜o de distribui¸˜o acumulada de X. ca ca
A fun¸˜o distribui¸ao acumulada de X, ´, por defini¸˜o: ca c˜ e ca
F (x) = P (X ≤ x) =

p (y) . y≤x Usando a fmp dada no enunciado, calculamos a fda para cada valor x dos reais:

se x < −2
 0
 1


 8 se -2 ≤ x < −1
 3

se -1 ≤ x < 0
8
F (x) =
5
 8 se 0 ≤ x < 1
 7


 8 se 1 ≤ x < 2


1
se 2 ≤ x
(c) Calcule a m´dia e a variˆncia da v.a. Y = 2X − 5. e a
Y ´ uma fun¸ao linear de X, ent˜o: e c˜ a E (Y ) = E (2X − 3) = 2E (X) − 3 e V (Y ) = V (2X − 3) = 22 V (X) = 4V (X)
Vamos obter o valor esperado e a variˆncia de X: a 5

E (X) =

xi p (xi ) i=1 = −2 ∗

2
2
2
1
1
−1∗ +0∗ +1∗ +2∗ =0
8
8
8
8
8

e
5

(xi − E (X))2 p (xi )

V (X) = i=1 1
2
2
2
1
+ (−1 − 0)2 ∗ + (0 − 0)2 ∗ + (1 − 0)2 ∗ + (2 − 0)2 ∗
8
8
8
8
8
4 2
2 4
12
=
+ +0+ + =
8 8
8 8
8
= (−2 − 0)2 ∗

1

Assim:
E (Y ) = 2 ∗ 0 − 3 = −3
12
V (Y ) = 4 ∗
= 6.
8
2. Dada a v.a. X com a seguinte fmp: x −1 2 p(x) 0.2 0.3

5
0.4

8
0.1

e
(a) Calcule a m´dia e o desvio padr˜o da v.a. Y = 4 X − 3.[Dica: Y ´ uma e a
3
fun¸˜o linear de X] ca Como Y ´ uma fun¸ao linear de X : e c˜
4
E (Y ) = E (X) − 3 e V (Y ) =
3

4
3

2

V (X) =

16
V (X) .
9

Usando a fmp fornecida, podemos calcular o valor esperado e a variˆncia de X: a 4

E (X) = µ =

xi p (xi ) i=1 = (−1) ∗ 0.2 + 2 ∗ 0.3 + 5 ∗ 0.4 + 8 ∗ 0.1 = 3.2
Vamos calcular a variˆncia de X usando a propriedade: a V (X) = E X 2 − µ2
= E X 2 − 3.22 com 4

E X2

x2 p (xi ) i = i=1 = (−1)2 ∗ 0.2 + 22 ∗ 0.3 + 52 ∗ 0.4