104470048 Apostila De Calculo

Medianeira

UTFPR – UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Medianeira – PR
Departamento de Engenharia ___________________
Curso: ENGENHARIA ___________________

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 – 2011/2

Agosto, 2011

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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos foram os números contáveis, ou seja, o conjunto dos
Números Naturais, representado por IN, isto é:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
A = {x / x ∈ N}
As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim: x+a=b =>

x = b – a,

onde a e b são números naturais.
Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos Números
Inteiros, representado por Z, isto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
A = {x / x ∈ Z}
A resolução de equações do tipo bx = a

=>

x=

a b com a e b números inteiros onde b ≠ 0, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta a forma, os números da forma com a e b números inteiros e b ≠ 0 formam um conjunto de b números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais infinitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por I. São exemplos de números irracionais: π, e, 2 , 3 , 5 , ...

Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos
Números Reais, representado por R.

Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas definições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos axiomas e teoremas.

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1) Comutativa:

a + b = b + a
∀a, b ∈ R => 
a b = b a

2) Associativa:

a + (b + c) = (a + b) + c
∀ a, b e c ∈ R => 
a (b c) = (a b) c

3

∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a
3) Existência de