1 unidade Geometria Anal tica Gabarito Willames

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO
ESCOLA POLITECNICA DE PERNAMBUCO
GEOMETRIA ANALÍTICA
ALUNO:____________________________________________________ TURMA:___________

1ª UNIDADE

1º) Determine as coordenadas do ponto P(2, 5) em relação ao sistema obtido do sistema x0y por uma rotação de um ângulo 𝜃 tal que tan 𝜃 = 1�3.
2

(cos 𝜃) sin 𝜃
1
cos 𝜃
Como tan 𝜃 = 1�3, temos que
= → sin 𝜃 =
→ (sin 𝜃)2 =
. Uma vez que (sin 𝜃)2 + (cos 𝜃)2 = cos 𝜃
3
3
9
1 → (cos 𝜃)2 = 1 − (sin 𝜃)2 , temos:

(sin 𝜃)2 =

1 − (sin 𝜃)2
1
9
→ sin 𝜃 = ±� ∴ cos 𝜃 = ±�
10
10
9

𝑥1 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃
→
𝑦1 = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃

9
1
+5�
10
10

11√10
10
→
13√10
1
9
𝑦1 =
𝑦1 = −2 � +5�
10
10
10
𝑥1 = 2 �

𝑥1 =

2º) Deduza a equação da parábola que contêm os pontos (-1, 12), (1, 2) e (2, 0) e tem eixo paralelo ao eixo y.
A equação da parábola paralela ao eixo 𝑦 é da forma 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Como os pontos pertencem a parábola, basta resolver o sistema:
12 = 𝑎 ∙ (−1)2 + 𝑏 ∙ (−1) + 𝑐
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 12
� 2 = 𝑎 ∙ ( 1)2 + 𝑏 ∙ ( 1 ) + 𝑐 → � 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 → 𝑎 = 1; 𝑏 = −5; 𝑐 = 6
4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
0 = 𝑎 ∙ ( 2 )2 + 𝑏 ∙ ( 2 ) + 𝑐
Logo, a equação da parábola é 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6

3º) Demonstre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
�����⃗ = (𝑥 − 𝑟, 𝑦) e como
Considerando 𝐴 = (−𝑟. 0); 𝐵 = (𝑟, 0) 𝑒 𝑃 = (𝑥, 𝑦) e sabendo que �����⃗
𝐴𝑃 = (𝑥 + 𝑟, 𝑦) e que 𝐵𝑃
2
2
2
𝑥 + 𝑦 = 𝑟 , temos:
�����⃗ e �����⃗
Logo, 𝐴𝑃
𝐵𝑃 são perpendiculares.

�����⃗
�����⃗ = (𝑥 2 − 𝑟 2 + 𝑦 2 ) = 𝑟 2 − 𝑟 2 = 0
𝐴𝑃 ∙ 𝐵𝑃

4º) Determine a distância entre as retas 2𝑥 − 𝑦 = 6 e 2𝑥 − 𝑦 = −1

Sejam as equações das retas r e s iguais a 2𝑥 − 𝑦 − 6 e 2𝑥 − 𝑦 + 1, respectivamente. Basta, então, determinar a distância de qualquer ponto de uma reta a outra. Sabendo que o ponto 𝑃 = (0, −6) ∈ 𝑟, temos:
𝑑(𝑃, 𝑠) =

|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶|
√𝐴2 +𝐵2

=

|2∙0 +(−1)∙(−6)+1|
�22 +(−1)2

=

7

√5

=

7√5
5