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Lei de Composição Interna Operações
Uma aplicação f : A x A A é dita operação ou lei composição interna sobre A ou em A, se x, y A, x * y A.
Logo, f (x, y) = x * y, (x, y) A x A. ( " f " de (x, y) é igual a x 'estrela' y, para todo par (x, y) pertencente a A x A )
Exemplos:
1) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = x – y não define uma operação, visto que, por exemplo, (3, 5) x e f(3, 5) = 3 – 5 = – 2 que não pertence aos naturais. 2) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = xy define uma operação, pois para quaisquer x, y , x . y é um número natural.
Propriedades de uma operação
Associativa
Uma operação * sobre um conjunto A é dita associativa se, x, y, z A, x * ( y * z ) = ( x * y ) * z
Significado:
Toda operação é definida para dois elementos, mas se ela for associativa então pode ser realizada com mais de dois elementos.
Comutativa
Uma operação * sobre um conjunto A é dita comutativa se, x, y A, x * y = y * x
Significado:
Toda operação deve ser resolvida da esquerda para direita, mas se ela for comutativa então pode ser realizada em qualquer ordem.
Elemento neutro
Uma operação * sobre um conjunto A admite elemento neutro representado por "e" também em A, se, x A, x * e = x = e * x

Se x * e = x, se diz que existe elemento neutro à direita.
Se e * x = x, se diz que existe elemento neutro à esquerda.
Só existe elemento neutro se à esquerda e à direita forem o mesmo elemento de A, e caso exista, ele é único.
Significado:
O elemento neutro é aquele que não muda o resultado da operação, em qualquer ordem que esta seja realizada.
Unicidade do elemento neutro:
Sobre a afirmação de que o elemento neutro é único, pode-se provar por absurdo.

Considerando que se tenha dois elementos neutros e, u e que sejam diferentes. e * u = u ( se e for o elemento neutro à esquerda ) u * e = e ( se u for o elemento