03IntDuplaPolares

C´alculo III
Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha

Integrais Duplas e Coordenadas Polares
Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regi˜oes bem adaptadas `as coordenadas cartesianas. Seja pela regi˜ao, seja pela fun¸c˜ao a ser integrada (ou at´e mesmo por uma quest˜ao de t´ecnica de integra¸c˜ao), h´a exemplos onde a integral dupla ´e mais bem adaptada a coordenadas polares.

3.1

Coordenadas Polares: Revis˜ ao Vocˆe deve se lembrar da id´eia de usar coordenadas polares no plano. Com rela¸c˜ao a uma origem fixada, deve-se dizer qual a distˆancia e para qual dire¸c˜ao se deve caminhar para atingir este ponto. A distˆancia ´e dada pela coordenada radial r e a dire¸c˜ao ´e dada fixando-se uma semi-reta e definindo um ˆangulo θ em rela¸c˜ao a ela (por conven¸c˜ao medido no sentido anti-hor´ario).
Se usamos a mesma origem para coordenadas cartesianas e para coordenadas polares e como semi-reta de referˆencia usamos a parte positiva do eixo x, temos a seguinte express˜ao para mudan¸ca de coordenadas: x = r cos θ, y = r sen θ.
Exerc´ıcio: Fa¸ca uma figura e use trigonometria para obter as f´ormulas acima.

3.2

´
Intui¸c˜
ao Geom´ etrica do Elemento de Area

Chamamos de retˆangulo polar a regi˜ao determinada por duas semi-retas: θ = Θ1 e θ = Θ2 e dois arcos de circunferˆencia: r = R1 e r = R2 . (Fa¸ca uma figura e se conven¸ca por que isso ´e um retˆangulo).
Para calcular a ´area de um retˆangulo, primeiro devemos lembrar que um setor circular de raio R e ˆangulo ∆Θ tem ´area
Asetor = πR2

1
∆Θ
= R2 ∆Θ.
2π
2
1

O retˆangulo polar pode ser visto como a diferen¸ca de dois setores de mesmo ˆangulo e com raios distintos. Denotando ∆R = R2 −R1 (considerando
R2 > R1 ) e ∆Θ = Θ2 − Θ1 , temos
1
(R2 + R1 )
1
∆R ∆Θ.
Aret = Asetor2 − Asetor1 = R22 ∆Θ − R12 ∆Θ =
2
2
2
O primeiro termo pode ser visto como um raio m´edio (a m´edia aritm´etica dos raios interno e externo). Se passamos `a situa¸c˜ao idealizada onde os dois
1
e assim raios s˜ao