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1. Dados os números naturais a, b prove que existe um número natural tal que m.a > b.
Solução (ex. 1) — Demonstração. Tome m = (b + 1), logo: m ・ a = (b + 1) ・ a = b ・ a + a
Analisemos agora os dois casos:
(caso 1) - Se a = 1, utilizando a definição de multiplicação, temos: b・a=b+1 Donde, pela definição de ordem, temos que: m・a>b (caso 2) - Se a 6= 1, temos que existe A(a), então, utilizando a definição de
Multiplicação:
b ・ (A(a) + 1) = b ・ A(a) + b ・ 1 = b + (b ・ A(a)) > b
Onde concluímos pela definição de ordem que: m ・ a > b.

5. Use indução para demonstrar
(a − 1) ・ (1 + a + ・ ・ ・ + an) =

-1

(i) n = 1, temos:
(a − 1)(1 + a) =

-1

Logo, 1 ∈ X
(ii) Suponha que vale para algum n ∈ X:
(a − 1) ・ (1 + a + ・ ・ ・ +

)=

-1

Então, utilizando a propriedade de distributividade, temos:
(a−1)(1+・ ・ ・+

+

) = (a – 1)(1+ . . .

) + (a - 1

Utilizando a hipótese de indução em:
(a−1)(1+・ ・ ・+

) + ( a – 1)

– 1 + (a – 1 ).

Utilizando distributividade:
– 1 + ( a – 1 ).

=

–1

Concluindo que n ∈ X ⇒ n+1 ∈ X, demonstrando assim o exercício.
9. Dados a, b, ε num corpo ordenado K, prove que.
|a − b| < ε ⇒ |b| − ε < |a| < |b| + ε
Conclua que |a − b| < ε ⇒ a < |b| + ε.
Solução: Temos ||a| − |b|| ≤ |a − b| < ε ⇒ ||a| − |b|| < ε ⇒ −ε <
|a| − |b| < ε. Somando |b| temos |b| − ε < |a| < ε + |b|. E como a < |a|, temos a < |b| + ε.
Obs. Na 5ª questão, a é elevado a n+1, não coloquei desta maneira porque tive dificuldade em
fazê-lo.