02 TransfGeom3D

Transformações Geométricas 3D
Sistemas Gráficos/
Computação Gráfica e Interfaces

FACULDADE DE ENGENHARIA
DA UNIVERSIDADE DO PORTO

COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES/
SISTEMAS GRÁFICOS
JGB/AAS 2003

1

Transformações Geométricas 3D
Extensão dos Métodos 2D incluindo agora a coordenada Z.

Transformações:
• Translação

Sistema de coordenadas 3D:

• Escalamento

Regra da Mão Direita

• Rotação

Eixo de rotação x

Direcção da rotação positiva y para z

y

z para x

Z

x para y

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2

Translação
Translação de um Ponto y xT,yT,zT x,y,z T=Tx,Ty,Tz

x z ⎧ xt = x + Tx
⎪
⎨ yt = y + T y
⎪ z = z +T z ⎩ t
⎡ xT ⎤ ⎡1
⎢ y ⎥ ⎢0
⎢ T⎥=⎢
⎢ zT ⎥ ⎢0
⎢ ⎥ ⎢
⎣ 1 ⎦ ⎣0

0 0 Tx ⎤ ⎡ x ⎤
1 0 Ty ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥
.
0 1 Tz ⎥ ⎢ z ⎥
⎥⎢ ⎥
0 0 1 ⎦ ⎣1 ⎦

A Translação de um Objecto é efectuada aplicando a operação a cada um dos seus vértices. y x
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z

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Escalamento y Em relação à origem:

⎧ xs = x.s x
⎪
⎨ ys = y.s y
⎪ z = z.s z ⎩ s
⎡ xs ⎤ ⎡ S x
⎢y ⎥ ⎢ 0
⎢ s⎥ = ⎢
⎢ zs ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎣1⎦ ⎣0

0

0

Sy

0

0

Sz

0

0

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0⎤ ⎡ x ⎤
0⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥
.
0⎥ ⎢ z ⎥
⎥⎢ ⎥
1⎦ ⎣ 1 ⎦

x z COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES/
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4

Escalamento
Em relação a um ponto arbitrário: y y

y

xF,yF,zF

x z x z z

T(xF,yF,zF).S(sx,sy,sz).T(-xF,-yF,-zF)=

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x

x

⎡S x
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0

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0
Sy
0
0

0
0
Sz
0

(1 − S x ).xF ⎤ ⎡ x ⎤
(1 − S y ). y F ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥
.
(1 − S z ).z F ⎥ ⎢ z ⎥
⎥⎢ ⎥
1
⎦ ⎣1 ⎦

5

Rotação
•
•

Em 2D o eixo de rotação é perpendicular ao plano XY
Em 3D o eixo de rotação poderá ser
– x, y ou z
– Um eixo colocado arbitrariamente no espaço

Em torno do eixo z Æ z constante y +

x

z

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