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domingo, 23 de agosto de 2009Uma Fórmula para Calcular a Densidade Média Solar
Neste post iremos deduzir uma fórmula para determinar a densidade média solar, conhecendo o diâmetro angular do Sol (ângulo no qual o Sol é visto da Terra), o raio terrestre, a aceleração da gravidade terrestre e o tempo em que a Terra leva para dar uma volta em torno do Sol (translação terrestre).

Na dedução desta fórmula, usaremos a terceira lei de Kepler e a lei da Gravitação Universal de Newton.

Terceira Lei de Kepler: "O cubo da distância média da Terra ao Sol dividido pelo quadrado de seu período é proporcional a massa solar, ou seja:"

onde é a distância média da Terra ao Sol, é o período de translação da Terra e é a massa solar.

Lei da Gravitação Universal: "O módulo da força de atração gravitacional entre dois corpos é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros, ou seja:"

onde e são as massas destes dois corpos, é a distância entre os centros dos corpos e é a constante de gravitação universal, cujo valor é .

Uma consequência direta da lei da gravitação universal é que podemos determinar a massa da Terra. Na superfície terrestre, e , donde segue que

onde é a aceleração da gravidade, é o raio da Terra e é a massa terrestre.

Experimentalmente, o ângulo no qual o Sol é visto da Terra (diâmetro angular solar), é aproximadamente rad. O raio terrestre é e assumiremos que a aceleração da gravidade é .

Sejam e as densidades médias da Terra e do Sol respectivamente. Além disso, usaremos o fato que um ano é aproximadamente igual .

De forma análoga a fórmula deduzida em , a massa solar é dada por

Usando a trigonometria na figura abaixo, temos

Por outro lado, pela terceira lei de Kleper,

Assim, usando as fórmulas , e , segue que

donde segue que

onde usamos o fato que a densidade média