EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA Definição: o sistema de equações é chamado sistemas de equações paramétricas da reta r, ou sistemas de reta r na forma paramétrica. Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas, P(x,y,z) e A(x1, y1 ,z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v = ai + bj + ck um ventor de mesma direção de r. Da equação vetorial da reta r: P=A + tv, ou: (x,y,z) = (x1y2z3) + t (a, b, c) vem: x=x1 + at y=y1 + bt z=z1 = ct As equações nas quais a, b e c não são todos nulos (v = 0), são denominadas equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado. A reta r é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de –∞ a +∞. • Exemplo As equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1), são: X=3 – 3t Y=-1 -2t Z=2 + t Para se obter um ponto desta reta, basta atribuir a t um valor particular. Por exemplo, para t=3, tem-se: X= -6 Y= -7 Z= 5 Isto é, o ponto (-6, -7, 5) é um ponto da reta r. O ponto (-6, -7, 5) é um ponto da reta r. observe-se que o ponto A(3,-1,2) é obtido fazendo t=.ja o ponto (0,3,4) não pertence a esta ret. Pois as equações : 0=3-3t 3=-1-2t 4=2+t Não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t=1) satisfaz a primeira equação mas não as duas. EQUAÇÃO SIMÉTRICA Definição: o sistema de equações [fig.1] é chamado de sistema de equação da reta r na forma simétrica. x-x0 = y-y0= z-z0

(a) Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto ( - 2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = < 1, - 3, 2 > . (b) Determine outros dois pontos pertencentes à reta. Solução (a) Como ro = < - 2, 3, 1 > e v = < 1, - 3, 2 > , a equação vetorial se torna r = < - 2, 3, 1 > + t < 1, - 3, 2 > ou r = < - 2 + t , 3 - 3 t , 1 + 2 t >. Lembrando que i , j , k são os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos…

Equações da Reta | 1. Equação Vetorial da Reta Considere um ponto A(x1,y1,z1) e um vetor não-nulo v=(a,b,c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v. AP=tv⇒P-A=tv⇒P=A+tv Expresso através de coordenadas: x,y,z=x1,y1,z1+t(a,b,c) Equação Vetorial de r. Onde: v é chamado vetor diretor e t é denominado de parâmetro. Exemplo: A reta r que passa por A(1,-1,4) e tem a direção de…

Geometria Analítica Estudo da Reta e do Plano Estudo da Reta Nesta parte estudaremos as equações da reta em várias formas usando conhecimento de vetores, tais como: equações vetoriais, simétricas, paramétricas, e reduzidas. Também estudaremos ângulos entre duas retas e interseção das duas retas. Em termos de condições apresentaremos as condições de três pontos na mesma linha, duas retas paralelas, ortogonalidade de duas retas e coplanaridade de duas retas. A equação (1)…

trajetória que coincide com a imagem da função Calcule o comprimento da trajetória da partícula entre os pontos (1,0,0) e (1,3,2).  RETAS E PLANOS Determine as equações paramétricas e a equação simétrica para a reta que passa por (2,1,0) e é perpendicular tanto a quanto a . Determine uma equação vetorial e equações paramétricas à reta que passa pelo ponto (1,0,6) e é perpendicular ao plano . Determine se os planos x + 2y + 2z = 1 e 2x – y +  LIMITES E…

[1] A Reta A RETA (1) Equação Vetorial da Reta (equação vetorial de um segmento de reta) (2) Equações Paramétricas da Reta (3) Equações Simétricas da Reta (4) Equações Reduzidas da Reta (5) Equação Geral da Reta (6) Ângulo de duas retas: Caso Geral (I) Paralelismo entre duas retas (Retas Paralelas aos eixos coordenados) (II) Ortogonalidade de duas retas (7) Reta ortogonal a duas retas (8) Intersecção de duas retas (9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas…

Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, → → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que AP = t AB ⇒ Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto P pode ser visto como a translação do ponto A pelo → → vetor AP , isto é, P = A + AP , a condição acima também se escreve: → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB . ⇒ Assim, a reta r é caracterizada pela equação → r : P = A + t AB ; t ∈ R…

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA 1.1 Equação vetorial Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2. Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores ® P1P e ® P1P2 são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor ® P1P2 é não nulo, então existe um escalar l tal que ® ® P1P = l P1P2 . Assim, P pertence a r se, e somente se, P = P1 + lP1P2 ; lÎIR ® .…

vértices de um triângulo. Qual é o comprimento da mediana AM? 08) Determine as equações reduzida e geral da reta que passa pelo ponto (-1, -2) e tem coeficiente angular -1. 09) Qual é a equação geral da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1)? 10) Qual é o ponto de interseção das retas x+2y=3 e 2x+3y–5=0? Parte 2:Estudo Vetorial da Reta. Estudo Vetorial do Plano. Posições Relativas entre Retas. Ângulo entre Retas. 01) Escreva as equações vetoriais, paramétricas e simétricas da reta…

real tridimensional.  Logo, a  (x 2  x 1 , y 2  y1 , z 2  z1 ) . Para determinar a equação da reta r que passa pelos pontos P1 (x 1 , y1 , z1 ) e P2 (x 2 , y 2 , z 2 ) considere um ponto qualquer P(x, y, z) da reta r; ou seja: . CDCI/CMCD Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Bs03C3e04sx1 Nestas condições, resulta que: P1 P  t.P1 P2 para algum escalar t ( t   ). Logo, tem-se que: (x  x 1 , y  y1 , z  z1 )  t (a 1 , a 2 , a 3 )  (ta1 , ta 2 , ta 3…