atps

Cap´ ıtulo 19 Fun¸˜es Inversas e suas Derivadas co 19.1 Motiva¸˜o ca Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidas por medidas de seguran¸a especiais para impedir atos de vandalc ismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento paralela ` parede onde um quadro famoso est´ exposto. Calcule a a o ˆngulo α de vis˜o de um observador junto ` corda em fun¸˜o da a a a ca distˆncia x da corda ` parede. Considere que a altura m´dia (a) a a e dos visitantes ´ de 1,70 m, a distˆncia da base do quadro ao solo e a (b) ´ de 2,70 m e que a altura do quadro (c) ´ de 3 m, conforme e e mostra o esquema ao lado. c α d β b a x Este c´lculo ´ importante para se determinar a distˆncia da corda de isolamento que permita um ˆngulo m´ximo a e a a a de vis˜o ao observador. a De acordo com o nosso conhecimento de fun¸˜es trigonom´tricas, as grandezas est˜o relacionadas pelo seguinte co e a sistemas de equa¸˜es co tg(α + β) = tg(β) = c+d x d x Para resolver o problema proposto, ´ necess´rio determinar o valor de um ˆngulo sabendo-se o valor do seu seno e a a ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto ´, conhecendo-se x encontrar α, tal que, por exemplo, sen(α) = x. Isto e equivale a achar uma fun¸˜o g tal que g(x) = α. ca Em muitas situa¸˜es pr´ticas, como a do problema anterior, ´ preciso refazer uma seq¨encia de passos desfazendo co a e u o que foi feito em cada etapa, na…

Aplicação de derivadas. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação à neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto. A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de…

2⎦ x senx Definição 1.2: Chama-se arco-seno à função inversa de g, definida por: arcsen : [− 1.1] → ⎡− π , π ⎤ . ⎢ 2 2⎥ ⎣ ⎦ x arcsen x 2 Pela definição da função inversa, temos ⎧ sen y = x ⎪ y = arcsen x ⇔ ⎨ π π. − ≤ y≤ ⎪ 2 ⎩ 2 Gráfico da função g Gráfico da função arco-seno Nota: A função arco-seno é crescente. Exemplo 1.3: Calcule arcsen Exemplo f (x ) = 1.4: 2 . 2 Caracterize a função inversa de 1 arcsen(3 x − 1)…

FUNÇÃO LINEAR A função linear é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de formação é do tipo f(x) = a.x, com a real ediferente de zero. Domínio: D = R Imagem: Im = R Exemplo 1: f(x) = 2x classificada como crescente, uma vez que a = 2 > 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir: Exemplo 2: f(x) = – x 2 Essa é uma função linear decrescente, pois a = – ½ < 0. Observe seu gráfico na figura a seguir: Exemplo 3: f(x) = – x Essa é uma…

Primitiva 1 x ln x +c 54) 1 ( x x 2  a 2  a 2 ln x  x 2  a 2 )  c , 2 a>0 1 [ x(2 x 2  a 2 ) x 2  a 2  a 4 ln x  x 2  a 2 ]  c , x2 x2  a2 x + c, n ≠ -1 n 1 1) xn 2) Tabela de Primitivas Função 53) a>0 x a 2 3) 1 xa ln x  a + c 55) 4) 1 ax 2 5) senx 6) cosx 7) 1 x  a2 2 1 2 x  a2 9) 1 x 2  a 2  a ln -ln a  x + c x a x 56) 2 x 2  a 2  a.arc sec -cosx + c…

fun¸˜o y = f (x) expl´ ca ıcita e impl´ ıcita: Expl´ ıcita: y = x2 + 3x + 1 (y est´ “isolada”) a 2 2 Impl´ ıcita: x + y = 4 dy nas fun¸˜es impl´ co ıcitas? dx 1) Derivar ambos os membros da equa¸˜o em rela¸˜o a x. ca ca 2) Explicitar y na equa¸˜o resultante. ca Como encontrar a derivada y = 1−y x−1 x+6 x−1 Exemplo 1 xy − 6 = y + x =⇒ y + xy = y + 1 =⇒ y (x − 1) = 1 − y =⇒ y = Verifica¸˜o: xy − 6 = y + x =⇒ xy − y = x + 6 =⇒ y (x − 1) = x + 6 =⇒ y = ca Pela Regra do Quociente,…

ıcios 4 - Derivadas 1. Para cada fun¸˜o f dada, calcule a derivada indicada: ca (a) f (x) = −6x5 + 3x4 − 5x − 2, (b) f (x) = senx, 1 (c) f (x) = x , d37 y dx37 ; dn y dxn ; d25 y dx25 ; 2. Determine a derivada de ordem n de y = ln x. 3. Derive: (a) y = arctan(arcsenx); (b) y = ln(secx + tgx); √ (d) y = arcsen( 1 − x2 ); (e) y = arcsen(e2x − 1). 4. Determine para quais valores de x cada fun¸˜o a seguir est´ definida: ca a a) y = arcsen(2x + 1) b) y = arccos(ex 5) c) y = arctg(3x + 2)…

Curricular: Matemática - EIG0003 MIEIG 2013/2014 1ª aula Prof. Catarina Castro Gabinete: M304 1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial de funções reais de variável real e algumas das suas aplicações. RESULTADOS ESPERADOS: 1 – Saber aplicar as regras da derivação a funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Derivação de funções racionais. 2 – Calcular a derivada da função…

da função Solução: Para que a raiz exista, x − 3 ≥ 0 ∴ x ≥ 3 Para que o denominador não seja zero, x − 4 = 0 ∴ x = 4 Então D = {x ∈ x −3 . x −4 R | x ≥ 3 e x = 4} Dia 06/08 — Funções: Inversa Exercício 3: Encontre a inversa da função y = f (x) = (2x + 3)3 . Solução: y = (2x + 3)3 x = (2y + 3)3 3 3 x = 2y + 3 3 x − 3 = 2y y= x −3 2 Página 1 Dia 07/08 Sem exercícios para este dia. Dia 09/08 — Noção Intuitiva de Limites Exercício 4: Esboce o gráfico de uma função que…

∫ sen2 (x).cos(x)dx (c) ∫ 3 (d) (3x + 1) 2 dx ∫ 3x2 + 2x (e) dx x3 + x2 ∫ x (f) dx x2 + 1 ∫ (g) cos3 (3x).sen(3x)dx ∫ arcsen(x) √ (h) dx 1 − x2 ∫ 2 (i) e−u udu ∫ (j) tg(x)dx ∫ sec2 (x) dx (k) tg 3 (x) ∫ ln(x) (l) dx x ∫ (m) cossec(x)dx 1 ∫ (n) √ x2 dx 1 − x6 Quest˜o 2. Calcule a 1 dx. 4 − x2 1 Sugest˜o: note que f (x) = √ a ´ quase a derivada de arcsen(x). No e 4 − x2 entanto, na derivada de arcsen(x) aparece 1 e n˜o 4 no radicando. Para fazer a √ com que isso aconte¸a,…