Análise real

Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis. Axiomas de Peano: P1. S: N→N é injetiva. P2. N-sN consta só de um elemento. P3. Se X ⊂N é um subconjunto tal que 1 ∈X e, se n∈X ⟹ s(n)∈ X, então X = N. Definição da soma: m + n = sn(m) ou, em outras palavras: m + 1 = s(m), m + s(n) = s(m + n) Definição de produto: m.1 = m e m.(n + 1) = (fm)n(m), onde f é a função “somar m", definida por f: N→N, fm(p) = p + m. Teorema 1. (Princípio da boa ordenação). Todo subconjunto A⊂N, A≠∅ possui um elemento mínimo. Ideia da demonstração: Considere o conjunto X formado pelos elementos n tais que In ⊂ N -A. Teorema 2. (Segundo Princípio de Indução). Seja X⊂N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈N, se X contem todos os números naturais m tais que m < n, então n ∈ X. Nestas condições, X = N. Ideia da demonstração: Considere Y = N- X, e mostre por absurdo que Y = ∅. Teorema 3. Seja A ⊂ In. Se existir um bijeção f: In→ A, então A = In. Ideia da demonstração: Indução em n. Supondo válido para n, considere uma bijeção f : In+1 → A, pondo f(n+1) = a. Tome restrição de f a In. Corolário 1. Se existir uma bijeção f: Im→ In, então m = n. Consequentemente, se existem duas bijeções ψ: In → X e φ: In → X, deve-se ter m = n. Ideia da demonstração: Suponha, sem perda de generalidade, m ≤ n. Corolário 2. Não pode existir um bijeção f: X→ Y, de um conjunto finito X sobre uma parte própria Y⊂ X. Ideia da demonstração: Basta fazer um gráfico. É fácil de ver.…

O que é linguagem recursivamente enumerável? É um tipo de Linguagem formal que também é chamada de linguagem Turing-reconhecível. Também é conhecida como tipo-0 na hierarquia de Chomsky das linguagens formais. Existem três equivalentes definições importantes para o conceito de uma linguagem recursivamente enumerável: 1. Uma linguagem recursivamente enumerável formal é um subconjunto recursivamente enumerável no conjunto de todas as palavras possíveis sob o alfabeto da linguagem. 2.…

Aula de Teoria da Computabilidade de 19.08.2004, Prof Prolo 1 Cantor, conjuntos não enumeráveis, funções não-computáveis e problemas não decidíveis George Cantor mostrou (1874) que existem cardinais acima de ℵ0 , usando um método que hoje é conhecido como Método da diagonal de Cantor. Nas próximas seções mostramos alguns conjuntos não enumeráveis importantes, utilizando este método. O trabalho de Cantor vai muito além disto, mas aqui nos restringimos ao que nos interessa para a…

usados os números reais. Com o aprimoramento dos números foi possível classicá-los em conjuntos. A humanidade desenvolveu lentamente o princípio de contagem como a comparação entre grandezas discretas. Neste contexto podemos citar o exemplo clássico do homem que conta seu rebanho utilizando pedras, daí a origem da palavra A caracterização formal do conjunto dos cálculo. Números Naturais representado por N, por incrível que possa parecer, é recente (início do século…

Teoria da computação 26. Mostre que, se A e B são conjuntos enumeráveis, então A xB também é enumerável. n( (a, b) ) = g(nA (a), nB (b)) 33. Considere a gsc G com nãoterminais S e T, terminais a, b e c, símbolo inicial S e regras S aSa | bSb | T T cT | c (Note que G é também uma glc.) Seja x = aabbb. Utiliza o algoritmo apresentado na demonstração de que toda lsc é um conjunto recursivo para determinar se x Î L(G). { S, aSa, bSb, T, aaSaa, abSba, aTa,…

(UNIVASF) LFA 2010-1 9 de junho de 2013 2 / 97 Roteiro 1 Conjuntos 2 Relações 3 Funções 4 Conjuntos Enumeráveis Marcus Ramos (UNIVASF) LFA 2010-1 9 de junho de 2013 3 / 97 Conjuntos Conjunto Um conjunto é uma coleção de elementos em que não são consideradas ocorrências múltiplas dos mesmos nem há relação de ordem entre eles. Exemplo 1.1 A inclusão do elemento ♦ no conjunto {♣, ♦, ♥, ♠} resulta no próprio conjunto {♣, ♦, ♥, ♠}, pois o mesmo já faz parte do conjunto e,…

Por isso, iremos assumir conhecidos o conjunto N = {1, 2, 3, . . .} dos números naturais, o conjunto Z dos números inteiros e o conjunto Q dos números racionais. Q= 1.1 Entretanto há algumas questões delicadas relacionadas ao conjunto dos números racionais p : p, q ∈ Z, q = 0 que precisam ser esclarecidas. q Representação Decimal de Números Racionais Como todos devem se lembrar, é ensinado no Ensino Fundamental que se o denominador de uma fração é uma potência de dez, então esse…

FÁBIO LUÍS BACCARIN CONJUNTOS INFINITOS E SUAS SURPRESAS: UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES Londrina-PR 2013 FÁBIO LUÍS BACCARIN CONJUNTOS INFINITOS E SUAS SURPRESAS: UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES Dissertação de mestrado apresentada ao Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da Universidade Estadual de Londrina como requisito parcial à obtenção do título de mestre em Matemática. Orientador: Profª. Dra. Ana Lúcia da Silva Londrina-PR 2013 FÁBIO LUÍS…

01: Vimos nos aspectos teóricos da Unidade 01 do guia de estudos, que um conjunto X é dito finito quando é vazio ou então existem n N e uma bijeção f: I X. Se escrevermos x1 = f(1), x2 = f(2),... , xn = f(n) temos então que X = { x1, x2,... , xn}. A bijeção f é dita uma contagem dos elementos de X e o número n é denominado o número de elementos, ou número cardinal do conjunto finito X. Desta forma, caracterizar cada um dos conjuntos abaixo em finito ou infinito. a) O conjunto dos…

descrita por Noam Chomsky em 1956. Essa hierarquia é dividida em 4 níveis indo de 0 até 3 e cada nível da classificação descreve o nível de liberdade da linguagem. Abaixo estão especificados os quatro níveis da hierarquia: Tipo 0: As gramáticas classificas com esse nível são conhecidas como ‘Gramáticas irrestritas’, são aquelas que não possuem limitações. Inclui todas as linguagens formais e gera exatamente o grupo com todas as linguagens que podem ser identificadas pela maquina de…