Movimento harmônico simples

Movimento Harmônico Simples

Definição

Uma partícula descreve um Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) quando se move ao longo do eixo X, estando sua posição x dada em função do tempo t pela equação

x=A·sen(ωt+φ)

onde

A é a amplitude. w a freqüência angular. w t+j a fase. j a fase inicial.

As características de um M.H.S. são:

Como os valores máximo e mínimo da função seno são +1 e -1, o movimento se realiza em uma região do eixo X compreendida entre -A e +A.

A função seno é periódica e se repete cada 2p, por tanto, o movimento se repete quando o argumento da função seno é incrementado em 2p, logo, quando transcorre um tempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .

P=2π/ω

Cinemática de um M.H.S.

Em um movimento retilíneo, dada a posição de um móvel, obtemos a velocidade derivando relativo ao tempo e logo, a aceleração derivando a expressão da velocidade.

A posição do móvel que descreve um M.H.S. em função do tempo é dada pela equação

x=A·sen(ωt+φ)

Derivando com relação ao tempo, obtemos a velocidade do móvel

Derivando de novo relativo ao tempo, obtemos a aceleração do móvel

Este resultado podemos expressar na forma de equação diferencial

Esta é a equação diferencial de um MHS onde x pode ser qualquer grandeza: um deslocamento linear, um deslocamento angular, a carga de um condensador, uma temperatura, etc.

Podemos comprovar que a solução desta equação diferencial é

x=A sen(w t+j )

Condições iniciais

Conhecendo a posição inicial x0 e a velocidade inicial v0 no instante t=0.

x0=A·senj v0=Aw·cosj são determinadas a amplitude A e a fase inicial φ

Dinâmica de um M.H.S.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos a expressão da força necessária para que um móvel de massa m descreva um M.H.S. Esta força é proporcional ao deslocamento x e de sentido contrário a este.

Como a força F é conservativa. O trabalho desta força é igual a diferença entre o valor inicial e o final da energia potencial Ep.

A expressão da