Apostila Álgebra Linear


Algebra
Linear
S
ergio Lu
s Zani
Departamento de Matem atica ICMC { USP

2010

2

Sum´ ario 1 Espa¸cos Vetoriais

5

1.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Subespa¸cos Vetoriais

15

2.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Intersec~ao e Soma de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Combina¸co
˜es Lineares

27

3.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Dependˆ encia Linear

35

4.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Base, Dimens˜ ao e Coordenadas

43

5.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Dimens~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3


SUMARIO

4

5.3 Dimens~ao de Soma de Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . 49
5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Mudan¸ca de Base

59

6.1 Introduc~ao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ ao 69

8 Transforma¸c˜ oes Lineares

83

8.1
8.2
8.3
8.4
8.5

Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . .
O Espaco Vetorial L (U, V) . . . . . .
Imagem e Nucleo . . . . . . . . . . . .
Isomor