Técnicas De Integração de Funções Trigonométricas

ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
1º caso: As integrais ∫ sen n u du e ∫ cos n u du , onde n é um inteiro positivo.
Nessas integrais, podemos usar artifícios de cálculo com auxílio das identidades trigonométricas,
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x sen 2 x + cos 2 x = 1, sen 2 x =
, cos 2 x =
, visando a aplicação do método da
2
2 substituição. Exemplo 1: n é um número inteiro ímpar
5
∫ cos x dx

Exemplo 2: n é um número inteiro par
4
∫ sen x dx

CÁLCULO II

1

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2º caso: As integrais ∫ sen u cos u du , onde m e n são inteiros positivos. m n

Exemplo 3: Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade sen 2 x + cos 2 x = 1 .
3
2
∫ sen x cos x dx

Exemplo 4: Quando os dois expoentes são pares usamos sen 2 x =

∫ sen

2

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
, cos 2 x =
.
2
2

x cos 2 x dx

CÁLCULO II

2

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3º caso: As integrais ∫ tg u du e ∫ cot g u du , onde n é um inteiro positivo. n n

Na preparação do integrando, usamos as identidades tg 2 u = sec 2 u − 1, cot g 2 u = cos ec 2u − 1 .

Exemplo 5: ∫ tg 3θ dθ

Exemplo 6: ∫ cot g 4 2 x dx

CÁLCULO II

3

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4º caso: As integrais ∫ sec u du e ∫ cos ec u du , onde n é um inteiro positivo. n n

Exemplo 7: Estas integrais, para o caso de n ser um número par, são resolvidas utilizando as identidades sec 2 u = tg 2 u + 1, cos ec 2 u = cot g 2 u + 1 .

∫ cos ec

6

x dx

Exemplo 8: Quando n for ímpar, devemos aplicar o método de integração por partes.
3
∫ sec x dx

CÁLCULO II

4

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5º caso: As integrais ∫ tg u sec u du e ∫ cot g u co sec u du , onde m e n são inteiros positivos. m n

m

n

Exemplo 9: Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar o método da substituição.
7
6
∫ tg x sec x dx

Exemplo 10: Quando